Menemukan Batas Integral: $ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 07/31/2017. 3 answers, 492 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Misalkan $ f: [a, b] \ ke \ mathbb {R} $ kontinyu. Tentukan apakah batas berikut ada

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

Karena $ f (x) $ dan $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ kontinu, maka produk mereka Riemann dapat diintegrasikan. Namun $ \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ tidak ada, jadi itu bukan konvergensi seragam dan kita tidak bisa melewati batas di dalam integral. Ini juga tidak memuaskan dalam kondisi Dini Theorem. Saya tidak tahu bagaimana membuat argumen yang valid untuk masalah ini, tetapi saya pikir dengan apa yang saya katakan batasnya tidak ada. Saya menghargai bantuan apa pun.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Riemann-Lebesgue lemma . Perhatikan bahwa $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Terima kasih, saya rasa, saya bisa menyelesaikannya sekarang
Teepeemm 07/31/2017
Itu tampaknya lebih maju daripada masalah yang diminta.

Sangchul Lee 07/31/2017.

Cara yang sedikit berbeda untuk memecahkan masalah ini adalah dengan menggunakan pengamatan berikut.

Proposition. Jika $ f: [a, b] \ ke \ mathbb {R} $ kontinyu, $ g: \ mathbb {R} \ ke \ mathbb {R} $ kontinyu dan $ L $ -periodic, maka

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ kiri (\ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right) \ left (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right). $$

  1. Dengan asumsi pernyataan ini, jawabannya segera menyusul karena $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ adalah $ 2 \ pi $ -periodic dan

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. Intuisinya sangat jelas: Jika $ n $ sangat besar, maka pada subinterval $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ subset [a, b] $ yang kita miliki

    $$ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ kira-kira f (c) \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} { n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Jadi mengabaikan detail, kami akan melakukannya

    $$ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ approx \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ tersisa (a + \ frac {kL} {n} \ right) \ frac {1} {n} \ right) \ left (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right) $$

    dan mengambil limit sebagai $ n \ to \ infty $, sisi kanan menyatu dengan nilai yang diinginkan. Mengisi rinciannya cukup rutin.

  3. Asumsi tentang kesinambungan hanyalah pengaturan teknis untuk bukti sederhana, dan Anda dapat melonggarkannya hingga derajat tertentu dengan membayar lebih banyak upaya.


Michael Hartley 07/31/2017.

Anda tidak dapat menyimpulkan $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $$ tidak ada hanya karena $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n ) $$ tidak. Misalnya, $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ tidak ada, tetapi $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$ karena integralnya adalah nol untuk semua $ n $.

Saya takut kegunaan saya habis pada titik ini, meskipun saya pikir batas ada: Anda harus, jika tidak ada yang lain, dapat menemukan beberapa argumen epsilon-delta menyatakan integral sebagai jumlah dari sekelompok integral pada interval panjang $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Ini mungkin cara yang sangat buruk untuk mengatasi masalah ini.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags