Fungsi yang selalu kurang dari turunannya

Mike Brown 08/20/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

Saya ingin tahu apakah ada fungsi yang $$ f '(x)> f (x) $$ untuk semua $ x $. Hanya contoh yang dapat saya pikirkan adalah $ e ^ x - c $ dan hanya $ - c $ di mana $ c> 0 $. Juga, apakah ada signifikansi dalam fungsi yang selalu kurang dari turunannya?


Edit: Terima kasih banyak atas semua balasannya. Sepertinya hampir semua fungsi yang berlaku bersifat eksponensial ... Adakah lebih banyak contoh seperti - 1 / x?

Sekali lagi apakah ada aplikasi / manifestasi fisik dari fungsi-fungsi ini? [misalnya sebuah objek dengan kecepatan yang selalu lebih besar dari posisi / akselerasinya selalu lebih besar daripada kecepatannya]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
Dari atas kepala saya, fungsi monotonik yang menegang dan terbatas di bagian bawah pesawat.
1 Robin Saunders 07/29/2017
Jawaban Ixion memberikan solusi lengkap dan paling umum (meskipun beberapa keluarga solusi tertentu mungkin bisa ditulis dalam bentuk yang lebih baik), dan harus diterima.
Hamsteriffic 07/30/2017
+1! Tapi tolong perbaiki judulnya, ubah "its" menjadi "their". Cara judul ditulis, untuk sesaat sepertinya Anda sedang mempertimbangkan turunan dari semua pesanan. Dan sekarang aku penasaran dengan pertanyaan sampingan ini, haha!

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

Jika $ y '(x)> y (x) \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} $, kita dapat mendefinisikan $ f (x) = y' (x) -y (x) $ yang positif untuk semua $ x $. Misalkan $ y '(x) $ adalah fungsi kontinyu sehingga $ f (x) $ kontinyu juga. Sekarang dengan elemen ini kita dapat membangun persamaan diferensial $$ y '(x) = y (x) + f (x) $$ dan solusinya diberikan oleh: $$ y (x) = e ^ {x} \ kiri (c + \ int_ {x_0} ^ {x} e ^ {- s} f (s) ds \ right) $$

Sekali lagi apakah ada aplikasi / manifestasi fisik dari fungsi-fungsi ini? [misalnya sebuah objek dengan kecepatan yang selalu lebih besar dari posisi / akselerasinya selalu lebih besar daripada kecepatannya]

Saya tidak tahu apakah ada aplikasi dari properti yang menarik ini, tetapi saya yakin Anda tidak dapat membandingkan kecepatan dengan posisi karena mereka bukan kuantitas yang homogen.


Aidan Connelly 07/29/2017.

Asumsi $ f (x)> 0 $, $ f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $

$ f '(x)> f (x) \ iff \ frac {d} {dx} \ ln (f (x))> 1 $

Jadi Anda dapat mengubah fungsi apa saja $ g $ di mana $ g '(x)> 1 $ ke fungsi jenis ini dengan mengambil eksponensial:

$ \ frac {d} {dx} g (x)> 1 \ menyiratkan \ frac {d} {dx} \ ln (e ^ {g (x)})> 1 \ menyiratkan \ frac {d} {dx} e ^ {g (x)}> e ^ {g (x)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
Anda mengasumsikan $ f (x)> 0 $ pada awalnya
2 MPW 07/28/2017
@HagenvonEitzen: Kemudian dia bisa menggunakan $ \ hat {f} (x) \ equiv e ^ {f (x)} $ sebagai titik awal untuk $ f $ tertentu. Dengan cara itu orang selalu memiliki $ \ topi {f} (x)> 0 $.
Robin Saunders 07/29/2017
Jawaban Ixion memberikan generalisasi penuh dengan mengizinkan $ \ frac {df} {dx} - f (x) $ untuk menjadi fungsi yang mana-mana-positif.
Adayah 07/29/2017
@RobinSaunders Tidak, dia menganggap kontinuitas $ f '(x) $.
Robin Saunders 07/29/2017
Saya cukup yakin bahwa kondisi itu sebenarnya tidak diperlukan.

Peter 07/28/2017.

Contoh sederhananya adalah $ f (x) = - x ^ 2-3 $


dromastyx 07/28/2017.

Masalah yang lebih menarik adalah menemukan fungsi $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $, yang gambarnya $ \ mathbb {R} $ dan memenuhi $ f '(x)> f (x) $ untuk semua $ x \ dalam \ mathbb {R} $. Salah satu fungsi tersebut adalah

$$ \ sinh (x), $$

karena

$$ \ frac {d} {dx} \ sinh (x) = \ cosh (x)> \ sinh (x) $$ untuk semua $ x \ in \ mathbb {R} $.


M. Winter 07/28/2017.

Ambil $ f (x) = e ^ {\ alpha x} $. Kemudian untuk $ \ alpha> 1 $ kita memiliki $ f '(x)> f (x) $ dan untuk $ \ alpha <1 $ kita memiliki $ f' (x) <f (x) $.


steven gregory 07/28/2017.

Bagaimana jika Anda melihatnya sebagai persamaan diferensial. Mengatakan

$ y '= y + 1 $

yang memiliki solusi $ y = Ce ^ x -1 $

Atau $ y '= y + x ^ 2 + 1 $

yang memiliki solusi $ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3) $

Atau $ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

yang memiliki solusi $ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
Jawaban Ixion menggeneralisasi ini menjadi $ y '(x) = y (x) + f (x) $ untuk $ f (x)> 0 $.
steven gregory 07/29/2017
@RobinSaunders - haruskah saya menghapus jawaban saya?
Robin Saunders 07/30/2017
Saya tidak tahu banyak tentang etiket Stack Exchange, tetapi dugaan saya adalah karena Anda memposting jawaban Anda terlebih dahulu dan berisi contoh-contoh spesifik yang tidak ada dalam jawaban lain, sebaiknya Anda tidak perlu meninggalkannya.

Eric Towers 07/30/2017.

Contoh yang very sederhana adalah $ f (x) = -1 <0 = f '(x) $. Relevan dengan hasil edit Anda: ini sama sekali tidak eksponensial.

Contoh lain yang tidak segera eksponensial:

  • $ \ frac {- \ pi} {2} + \ arctan x $ ada di mana-mana negatif dan di mana-mana sangat monoton meningkat, jadi di mana-mana kurang dari turunannya.
  • $ -1 + \ mathrm {erf} (x) $ juga di mana-mana negatif dan di mana-mana sangat monoton meningkat. (Ini sangat mirip, karena mereka menggeser salinan CDF dari distribusi Cauchy dan Gaussian (standar / normalisasi).)
  • $ \ frac {1} {2} \ left (x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ right) $ adalah cabang bawah hiperbola yang memiliki $ x $ -axis dan garis $ y = x $ sebagai asymptotes. Itu di mana-mana negatif dan di mana-mana secara ketat meningkat secara monoton.

Thiago Nascimento 07/28/2017.

Lihat, $ - \ frac {1} {x}, \ frac {1} {x ^ {2}} \ in \ [0, \ infty] $

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
Lebih umum, semua fungsi negatif dengan turunan positif ...

Joshua Kidd 07/28/2017.

Contoh lain yang sederhana adalah $ f (x) = -e ^ {- x} $, $ f '(x) = e ^ {- x} $


Adayah 07/29/2017.

Ketidaksamaan $$ f '(x)> f (x) $$ setara dengan $$ \ left [f (x) e ^ {- x} \ right]'> 0. $$

Jadi solusi umum adalah untuk mengambil fungsi terdiferensiasi $ g (x) $ dengan $ g '(x)> 0 $ dan menaruh $ f (x) = g (x) e ^ x $.

Perhatikan bahwa tidak ada yang diasumsikan tentang $ f $ kecuali kemampuan terdiferensialkan, yang diperlukan untuk menanyakan pertanyaan di tempat pertama.


HelloGoodbye 07/30/2017.

Untuk setiap fungsi diferensial $ f $ yang keduanya $ f (x) $ dan $ f '(x) $ terbatas pada rentang terbatas, $ f' (x) - f (x) $ juga terbatas pada rentang terbatas, jadi ada $ c $ untuk $ f '(x) - f (x)> -c \ \ forall \ x $. Oleh karena itu, fungsi $ g (x) = f (x) - c $ dapat dibentuk untuk $ g '(x) - g (x) - c> -c \ \ untuk semua \ x $ atau $ g' (x )> g (x) \ \ untuk semua \ x $.

Misalnya, ini berlaku untuk banyak fungsi periodik diferensial.

5 comments
1 Adayah 07/29/2017
Pernyataan terakhir adalah salah, karena tidak setiap fungsi periodik terdiferensiasi telah membatasi derivatif.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Kamu benar. Saya sedang mempertimbangkan fungsi periodik yang terdiferensiasi pada setiap titik dalam $ \ mathbb {R} $, tetapi saya menyadari bahwa fungsi hanya harus terdiferensiasi pada semua titik di domainnya untuk dianggap terdiferensiasi. Saya telah memperbarui jawaban saya.
Adayah 07/30/2017
Maksud saya, fungsi $ f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ dapat periodik dan terdiferensiasi di setiap titik $ a \ in \ mathbb {R} $ dan masih memiliki turunan tak terbatas.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Apakah Anda memiliki contoh fungsi seperti itu?
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Maksud saya, jika fungsi $ f $ terdiferensiasi di mana-mana, turunannya $ f '$ harus ada di mana-mana, dan $ f' $ harus kontinu (karena jika mengandung diskontinuitas, $ f '$ tidak bisa ada pada titik itu ). Itu membuat mustahil $ f '$ menjadi tidak terbatas, kan?

Henk Koppelaar 08/02/2017.

Mike jawaban atas pertanyaan tambahan Anda "Apakah ada contoh fisik dari ini?" diaktifkan oleh dromastyx.

Teladannya menunjukkan fungsi hiperbolik yang menggambarkan secara akurat fenomena fisik 'soliton'.

Soliton adalah gelombang soliter seperti flare matahari, Tsunami, dll. Contoh menemukan gelombang semacam itu tersembunyi dalam persamaan yang diketahui adalah:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags