Apakah kebanyakan matematikawan mengetahui sebagian besar topik dalam matematika?

Sid Caroline 08/21/2017. 8 answers, 12.112 views
soft-question

Berapa banyak topik di luar spesialisasi mereka yang akrab dengan rata-rata ahli matematika?

Sebagai contoh, apakah seorang ahli teori kelompok rata-rata cukup mengetahui persamaan diferensial parsial untuk lulus tes dalam kursus tingkat pascasarjana tingkat pascasarjana?

Juga, apa yang "harus-tahu" topik untuk setiap matematikawan calon? Mengapa?

Sebagai seorang mahasiswa pascasarjana, haruskah saya lebih fokus pada keluasan (memilih berbagai kelas yang relatif tidak berpasangan, misalnya, teori grup dan PDE) atau kedalaman (misalnya, mengukur teori dan analisis fungsional)?

5 Comments
5 Mattos 07/27/2017
Asal tahu saja, teori grup digunakan dalam studi persamaan diferensial parsial, sebagian besar untuk memanfaatkan simetri yang mungkin dimiliki PDE.
53 Cauchy 07/27/2017
Tidak, seorang ahli teori kelompok rata-rata akan mendapatkan uang $ 0 $ dalam mata kuliah tingkat pascasarjana (dia might telah mempelajari PDE di beberapa titik, tetapi dia pasti lupa semuanya).
23 Cauchy 07/27/2017
Secara umum, bagaimanapun, sebagian besar ahli matematika memiliki sedikit paparan berbagai macam topik sehingga jika mereka membutuhkan alat tertentu dari beberapa cabang lain mereka dapat (relatif) cepat memoles materi dan membaca literatur yang relevan.
1 owjburnham 07/27/2017
Saya menduga bahwa ini mungkin spesifik negara, dan sangat berharga? Saya (di Inggris) tidak pernah harus mengambil tes tunggal sebagai mahasiswa pascasarjana (syukurlah).
6 Robin Saunders 07/29/2017
@Myles, saya lebih sering mendengar kata Poincaré.

8 Answers


P. Siehr 07/27/2017.

Pertanyaan Anda lebih bersifat filosofis daripada matematis.

Seorang kolega saya memberi tahu saya metafora / ilustrasi berikut ketika saya masih menjadi mahasiswa sarjana dan dia melakukan PhD-nya. Dan sejak sekarang beberapa tahun telah berlalu saya bisa berhubungan.

Sulit untuk menulisnya. Pikirkan tentang menggambar lingkaran besar di udara, memperbesar, lalu menggambar lingkaran besar lagi.

Ini semua pengetahuan:

[--------------------------------------------] 

Semua pengetahuan mengandung banyak, dan matematika hanya sebagian kecil di dalamnya - yang ditandai dengan salib:

[---------------------------------------x----]
                                        |
Zooming in:
[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx] 

Penelitian matematika dibagi menjadi banyak topik. Aljabar, teori bilangan, dan banyak lainnya, tetapi juga matematika numerik. Itu bagian kecil di sini:

[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxoxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx]
                    |                    
Zooming in:
[oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo] 

Matematika numerik dibagi menjadi beberapa topik juga, seperti angka ODE, optimasi dll. Dan salah satunya adalah FEM-Theory untuk PDE.

[oooooooooooooooooooρoooooooooooooooooooooooo]
                    | 

Dan itu adalah bagian dari pengetahuan, di mana saya merasa nyaman mengatakan "Saya tahu sedikit lebih banyak daripada kebanyakan orang lain di dunia".
Sekarang setelah beberapa tahun, saya akan memperluas ilustrasi itu satu langkah lagi: Pengetahuan saya di bagian itu agak mirip

[   ρ    ρρ  ρ         ρ   ρ          ρ     ρ] 

Saya masih hanya tahu "sedikit" tentang hal itu, sebagian besar saya tidak tahu, dan sebagian besar dari apa yang saya pelajari sudah dilupakan.

(Sebenarnya FEM-Theory masih merupakan topik besar, yang berisi berbagai jenis PDE [eliptik, parabola, hiperbolik, lainnya]. Jadi Anda bisa melakukan "zooming" beberapa kali lebih banyak.)


Kebijaksanaan kecil lainnya adalah: Seseorang yang selesai sekolah mengira dia tahu segalanya. Begitu dia mendapatkan gelar masternya, dia tahu bahwa dia tidak tahu apa-apa. Dan setelah PhD dia tahu bahwa semua orang di sekitarnya tidak tahu apa-apa.


Bertanya tentang fokus Anda: IMO menggunakan beberapa tahun pertama untuk menjelajahi topik dalam matematika untuk mencari tahu apa yang Anda sukai. Lalu pergilah lebih dalam - jika Anda menemukan apa yang Anda sukai.

Apakah ada topik "harus tahu"? Ada hal-hal mendasar yang Anda pelajari dalam beberapa istilah pertama. Tanpa mereka sulit untuk "berbicara" dan "melakukan" matematika. Anda akan mempelajari alat yang Anda butuhkan untuk menggali lebih dalam. Setelah itu merasa bebas untuk menikmati matematika :)
Jika fokus riset Anda adalah misalnya pada angka PDE (seperti milik saya) tetapi Anda juga menyukai matematika murni - lanjutkan dan ikuti kuliah. Apakah itu akan membantu Anda? Mungkin tidak. Tapi tentu saja Anda bersenang-senang mendapatkan pengetahuan, dan itulah yang diperhitungkan.

Jangan terlalu memikirkan tentang kuliah apa yang harus dihadiri. Semuanya akan baik-baik saja. Saya pikir sebagian besar matematikawan akan setuju dengan pernyataan itu.

4 comments
46 Eff 07/27/2017
10 Mars 07/30/2017
Sebagai catatan, saya adalah seorang filsuf profesional (Ph.D dalam filsafat, pekerjaan sebagai profesor, semua itu). Soo ... menurut pendapat profesional saya, pertanyaan ini tidak filosofis. Itu empiris. OP meminta generalisasi empiris tentang matematikawan. Saran P. Siehr adalah bahwa pertanyaan tersebut dinyatakan secara tidak tepat atau didasarkan pada asumsi yang salah. Itu tidak membuat pertanyaan atau jawaban yang mungkin filosofis. (fwiw Saya tidak setuju dengan P. Siehr bahwa pertanyaan seperti yang dinyatakan tidak dapat dijawab, dan pernyataan saya tidak dimaksudkan sebagai dukungan untuk komentar amWhy.)
3 Joonas Ilmavirta 08/01/2017
@Mars Perlu dicatat bahwa "filosofis" dalam konteks matematika biasanya tidak merujuk ke bidang filsafat sama sekali, tetapi untuk hampir semua pemikiran matematis yang relevan atau terinspirasi di luar matematika yang ketat dan formal. (Saya berharap matematikawan menggunakan kata mengenali ini!) Saya setuju bahwa pertanyaan itu tidak filosofis dalam arti sebenarnya dari kata itu, tapi saya pikir itu filosofis dalam arti yang digunakan oleh banyak matematikawan.
Mars 08/09/2017
Ah, itu menarik @JoonasIlmavirta. Terima kasih.

Georges Elencwajg 07/27/2017.

Jawaban atas pertanyaan Anda mudah:
Tidak, seorang matematikawan rata-rata khusus, katakanlah, geometri aljabar tidak dapat lulus without preparation ujian tingkat pascasarjana pada persamaan diferensial parsial.
Tunggu, itu lebih buruk dari itu: dia bahkan tidak bisa lulus ujian tingkat sarjana pada persamaan diferensial parsial.
Tunggu, itu bahkan lebih buruk: dia tidak bisa lulus ujian in algebraic geometry pada topik khusus yang berbeda dari dirinya sendiri. Misalnya ujian dasar pada klasifikasi singularitas jika dia mengkhususkan diri dalam skema Hilbert.
Sebaliknya saya akan sangat terkejut jika seorang analis terkenal yang baru-baru ini mendapat medali Fields dapat menyelesaikan latihan dalam, katakanlah, Bab 5 dari Aljabar Aljabar Fulton, pengenalan standar untuk geometri aljabar sarjana.

Some remarks
1) Apa yang saya tulis mudah untuk dikonfirmasi secara pribadi tetapi tidak mungkin untuk membuktikan di depan umum:
Saya tidak dapat menulis dengan baik bahwa dalam percakapan baru-baru ini XXX, seorang probabilist yang dihormati, secara berlimpah membuktikan bahwa dia tidak tahu apa kelompok fundamental dari lingkaran itu.

2) Jika penulis YYY menulis sebuah artikel tentang persamaan diferensial parsial menggunakan teknik dari kelompok yang setuju, ini tidak berarti bahwa spesialis lain di bidangnya tahu teori grup.
Itu bahkan tidak membuktikan bahwa YYY tahu banyak tentang teori grup: dia mungkin telah menyadari bahwa teori grup terlibat dalam penelitiannya dan mewawancarai seorang ahli teori kelompok yang akan memberitahunya tentang kelompok-kelompok yang bisa menerima.

3) Pada sisi baiknya beberapa ahli matematika yang sangat luar biasa tampaknya tahu banyak tentang hampir setiap mata pelajaran dalam matematika: Atiyah, Deligne, Serre, Tao datang ke pikiran.
Dugaan sedih saya adalah bahwa angka mereka adalah fungsi yang cenderung nol seiring berjalannya waktu.
Dan meskipun saya tidak bisa melakukan ujian analisis, saya sadar apa artinya ini untuk fungsi $ \ mathbb N $-nilai ...

5 comments
11 Alfred Yerger 07/27/2017
Kami memiliki beberapa orang di departemen saya yang setidaknya dapat mengomentari berbagai macam subbidang dalam disiplin yang luas. Beberapa geometers datang ke pikiran yang memiliki sesuatu yang cerdas untuk dikatakan tentang banyak bidang geometri. Mungkin itu tidak mungkin untuk mengetahui segalanya. Tapi semoga masih mungkin untuk mengetahui banyak hal tentang banyak hal. Saya pikir itu mungkin cukup baik, karena sekarang ada begitu banyak hal yang perlu diketahui!
1 Santropedro 07/28/2017
Georges, Ketika Anda mengatakan "Sebaliknya, saya akan sangat terkejut jika seorang analis terkenal yang baru-baru ini mendapat medali Fields dapat menyelesaikan latihan dalam, katakanlah, Bab 5 dari Aljabar Aljabar Fulton, pengenalan standar untuk geometri aljabar sarjana." berapa lama mereka diizinkan untuk berpikir setiap latihan? Jika kita memberi mereka cukup waktu untuk membaca buku dan berlatih, cukup yakin bagi saya mereka akan menyelesaikannya. Bukankah mereka diizinkan untuk membaca buku, dan harus menyelesaikannya di tempat, dalam berapa banyak waktu?
8 Georges Elencwajg 07/28/2017
@Santropedro yang terhormat, tentu saja jika analis brilian itu diberi satu atau dua minggu, dia dapat membaca buku dan kemudian menyelesaikan latihannya. Intinya yang ingin saya sampaikan adalah dia mungkin tidak bisa menyelesaikannya dengan apa yang dia ketahui sekarang.
2 Michael Kay 07/28/2017
Beberapa tahun yang lalu saya pikir itu akan lucu untuk mencoba dan menangani kertas matematika GCSE (untuk anak usia 16 tahun) yang dibawa pulang oleh putri saya. Pada usia itu saya akan berlayar melaluinya tanpa kesulitan. Saya menemukan saya tidak dapat menjawab satu pertanyaan pun, meskipun pekerjaan saya di bidang rekayasa perangkat lunak melibatkan paparan reguler terhadap banyak sekali matematika.
2 Georges Elencwajg 07/30/2017
@Mars: ya, itulah intinya. OP bertanya tentang subjek yang akrab dengan seorang matematikawan. Pertanyaannya apakah dia could membiasakan diri dengan subjek seperti itu dan berapa lama waktu yang dibutuhkan itu benar-benar berbeda, dan cukup berkorelasi dengan gagasan menjadi "brilian".

MCS 07/29/2017.

Dua sen saya: kecuali Anda memiliki otak ajaib, atau semacam jenius yang membuat zaman, Anda mungkin akan menemukan bahwa Anda hanya dapat menyimpan begitu banyak matematika dalam pikiran Anda pada waktu tertentu. Jadi, untuk alasan praktis — baik berkenaan dengan penulisan disertasi, dan berkenaan dengan berkarir untuk diri sendiri — Anda mungkin harus tetap pada satu atau dua bidang yang terkait erat, sehingga Anda mungkin memiliki keahlian yang cukup untuk membuat diri Anda berguna bagi lembaga penelitian atau apa pun yang Anda ingin lakukan dengan masa depan Anda.

Yang sedang dikatakan, saya telah menemukan bahwa lemak siku dan keterampilan dalam matematika sering sangat uncorrelated dengan satu sama lain. Sebaliknya, keterampilan sering lebih bergantung pada seberapa banyak matematika yang telah seen . Untuk itu, saya akan mengatakan, meskipun Anda pasti harus memilih satu atau dua area subjek untuk memanggil Anda sendiri, Anda harus berusaha tetap berpikiran terbuka dan mempertahankan minat aktif dalam berbagai macam disiplin matematis mungkin.

Saya sering menemukan bahwa membaca (meskipun hanya santai) tentang bentuk-bentuk matematika yang tidak terkait dengan bidang penelitian saya memberikan banyak ide dan wawasan baru. Semakin banyak pola dan fenomena yang Anda kenal, semakin baik kemungkinan Anda akan melihat sesuatu yang menarik mengganggu pekerjaan Anda, dan itu mungkin memberi Anda beberapa intuisi yang mungkin tidak Anda miliki. Paling tidak, ini akan membantu Anda mengetahui topik atau sumber apa (atau kolaborator ...) untuk mencari ketika Anda menemukan sesuatu di luar bidang keahlian terbesar Anda.

Edit: Satu lagi. Linear algebra. Mengutip Benedict Gross, tidak ada yang namanya terlalu banyak mengetahui aljabar linier. Ini aneh di everywhere - everywhere .


paul garrett 07/27/2017.

Tentu saja ada ambiguitas yang hebat dalam pertanyaan itu. Tetapi, dengan interpretasi apa pun, jawabannya akan secara umum, "tidak, sebagian besar praktisi dari beberapa bagian X tidak mengingat semua X ... karena mereka tidak need ".

Jadi, jika hanya karena sebagian besar ingatan orang-orang yang sangat-sangat pintar memudar seiring waktu, hanya akan ada sedikit sisa dari hal-hal standar dasar dalam pikiran para matematikawan yang sedang mengerjakan satu hal khusus untuk beberapa tahun. Terlepas dari mengajar kalkulus, ada sedikit yang need diingat banyak hal lainnya. Ya, dari sudut pandang beasiswa, ini berpotensi menyusahkan, tetapi, pada kenyataannya, di hampir semua situasi matematika profesional, ada sedikit motivasi / imbalan untuk beasiswa asli. Entah bagaimana tidak sesuai dengan formula kenaikan gaji, masa jabatan, atau banyak lagi. (Bukan berarti saya sendiri peduli apakah saya mencoba memahami hal-hal "untuk membayar", atau tidak ...)

Benar, sebagian besar program pascasarjana di AS dalam matematika berusaha untuk menghasilkan beberapa kompetensi minimal / penghargaan untuk sebagian besar matematika dasar, tetapi setelah "lulus kualifikasi" tampaknya sebagian besar orang tidak menemukan banyak minat dalam mengejar lebih jauh beasiswa, baik secara prinsip atau untuk manfaat langsung yang mungkin.

Juga, saya mengambil masalah dengan (yang saya pikir) gambaran sederhana bahwa "spesialisasi" seperti "memperbesar dengan mikroskop", dan seterusnya. Tentu, ini adalah pandangan dunia yang dapat dipertahankan, dan pandangan dunia yang tunduk pada subjek, dan, tentu saja, dengan tindakan seseorang dapat membuatnya menjadi deskripsi yang accurate ... tapi saya pikir itu tidak akurat dari kenyataan. Secara khusus, saya tidak melihat ide-ide asli sebagai hampir begitu "lokal" sebagai "zoom-mikroskop fisik" akan relevan-ke. Artinya, gagasan bahwa "matematika" dapat dengan cara yang masuk akal dilukiskan sebagai hal fisik, yang melibatkan semua kearifan lokal yang menyiratkan, menurut saya sangat tidak akurat. Sekali lagi, ya, kita bisa make akurat, jika tidak ada yang lain karena ketidaktahuan atau kebodohan. Tapi...


Dennis Jaheruddin 07/29/2017.

Pertanyaan tentang berapa banyak topik matematika yang diketahui seorang matematikawan rata-rata, sangat bergantung pada dua definisi:

  1. Tema
  2. Tahu

Tentu saja itu juga tergantung pada definisi lain (seperti ahli matematika) tetapi pada tingkat lebih rendah.

Pendekatan kuantitatif untuk menjawab pertanyaan ini

Mari kita mendefinisikan tingkat topik dalam sebagai berikut, loosly berdasarkan wikipedia :

  1. Matematika (1 topik pada level ini)
  2. Matematika Murni / Matematika Terapan (2 topik pada level ini)
  3. Aljabar, ..., Riset operasi (13 topik di level ini)
  4. Aljabar abstrak, aljabar Boolean, ... (??? topik pada tingkat ini)

Sekarang, berdasarkan pengalaman pribadi dan citra seorang matematikawan rata-rata, saya dapat menjawab seberapa banyak yang akan diketahui oleh seorang matematikawan tentang hal ini, untuk setiap level:

  1. Dapat lulus kursus pascasarjana tentang topik ini
  2. Dapat lulus kursus pascasarjana tentang topik ini
  3. Dapat lulus program pascasarjana pada beberapa topik ini, dapat lulus kursus pengantar pada sebagian besar topik ini
  4. Dapat lulus kursus pascasarjana pada beberapa topik ini (mungkin 5 ~ 15%)

Perhatikan bahwa jika Anda bergerak di luar level 4, Anda menjadi sangat spesifik sehingga Anda tidak dapat menemukan kursus pascasarjana lengkap tentang topik seperti itu. Maka kesimpulan saya:

Berdasarkan pengalaman pribadi, saya mengharapkan seorang matematikawan rata-rata memiliki pengetahuan yang layak antara 5% dan 15% dari topik di tingkat pascasarjana


Linas 07/29/2017.

Saya menghabiskan beberapa tahun di sebuah proyek untuk membaca 1-2 bab pertama dari setidaknya satu buku matematika di setiap rak perpustakaan universitas. Ini adalah upaya untuk mendapatkan survei matematika yang tidak bias. Itu baik untuk saya, tetapi itu adalah kemewahan: pawai paksa melalui program PhD dan ke akademisi menawarkan sedikit waktu untuk perilaku seperti itu. Namun ini penting: semua matematikawan terbaik, paling terkenal dengan jelas menggunakan alat lintas disiplin dalam pekerjaan mereka. Dan, bagi saya, secara pribadi, itu semacam naik level: tiba-tiba, semuanya lebih mudah.

Spesialisasi dalam satu bidang adalah jenis seperti mengangkat beban hanya dengan lengan kanan Anda, mengabaikan inti, punggung dan kaki: itu membuat Anda secara mengejutkan lemah dan tidak mampu. Ketika Anda harus menguasai banyak gaya abstraksi yang berbeda, Anda menjadi lebih baik dalam abstraksi, secara umum, bahkan dalam spesialisasi yang Anda pilih. Ini, bagi saya, adalah kejutan besar yang tak terduga.

Untuk pertanyaan yang lebih kuantitatif, tanyakan di sini: bisakah saya "lulus ujian di tingkat pascasarjana XYZ saja?" untuk 1 tahun, kursus semester 1, mungkin, mungkin. Urutkan-dari. Ujian cenderung mengajukan pertanyaan menggunakan ungkapan dan notasi yang sangat selaras dengan buku teks kelas, dan notasi ini dapat sangat berbeda dari satu buku ke yang lain. Jadi untuk itu, persiapan akan dibutuhkan. Intinya adalah persiapan seperti itu menjadi lebih mudah.

1 comments
Lehs 07/29/2017
Harus ada banyak buku matematika di perpustakaan universitas. Saya tidak akan pernah bisa mempelajari semua judul dan tentu saja tidak semua definisi dalam semua buku itu. Dan itu tidak mungkin untuk mengingat banyak konteks itu. Tetapi seorang matematikawan profesional mungkin dapat memahami konteks salah satu buku jika dia harus.

R K Sinha 08/07/2017.

Ada kelangkaan besar buku teks di tingkat pascasarjana dalam matematika yang ditulis dengan tujuan mengajarkan "subjek yang benar" secepat mungkin. "Manifold Halus oleh Sinha" adalah salah satu buku seperti itu. Jika banyak buku semacam itu tersedia, maka beasiswa dalam matematika tidak akan menjadi hal yang mudah ditertawakan.


John Bentin 07/27/2017.

Tentu tidak. Misalnya, ahli matematika hebat Grothendieck tidak cukup paham dengan aritmatika untuk mengenali bilangan bulat $ 57 $ sebagai non-prima. Banyak akun cerita ini dapat diakses oleh pencarian internet untuk istilah-istilah kunci; katakan, cari grothendieck prime 57 .

5 comments
24 José Carlos Santos 07/27/2017
Ini adalah contoh yang konyol! Grothendieck berpikir tentang bilangan prima pada umumnya. Dia benar-benar tidak peduli apakah $ 57 $ adalah perdana.
19 Georges Elencwajg 07/27/2017
Kisah ini tidak dibuat: Grothendieck benar-benar membuat kesalahan konyol itu, dalam pertukaran setelah berbicara, setelah diminta untuk menjadi lebih konkret oleh seorang anggota audiensi. Tentu saja ini tidak mengubah apa pun pada fakta bahwa Grothendieck adalah salah satu ahli aritmatika paling mendalam di abad ke-20. Dan memang 57 looks agak prima untuk beberapa alasan psikologis :-). Sebaliknya banyak matematikawan berpikir saya menarik kaki mereka ketika saya memberi tahu mereka bahwa $ 4999 $ is utama!
1 Dair 07/27/2017
Saya yakin Terrance Tao juga mengatakan bahwa 27 adalah primadona pada laporan Colbert, atau sesuatu seperti itu: p (Bukannya dia tidak tahu bilangan prima, hanya anekdot yang lucu) Namun, pertanyaan yang lebih baik adalah bagaimana saya mengetahui hal ini? Dan, apa yang saya lakukan dengan hidupku?
1 quid 07/27/2017
'Tetapi Grothendieck pasti tahu bahwa 57 tidak utama, bukan? Sama sekali tidak, kata David Mumford dari Brown University. "Dia tidak berpikir secara konkret." "Karena tentu saja dia tahu itu dalam arti bahwa dia bisa menjawab pertanyaan" Apakah 57 nomor utama? " benar, dan ini menjadi kabur di sana.
1 John R Ramsden 08/02/2017
Jika menjawab pertanyaan asli dengan apa yang tampaknya pendekatan yang sedikit hambar dengan menunjukkan kesenjangan yang tak terelakkan bahkan dalam pengetahuan para matematikawan terbesar, sebuah contoh yang lebih baik daripada slip hitung konyol akan terjadi ketika Grothendieck bertanya kepada seorang rekan tentang suatu integral tertentu yang dia temui, dan terkejut ketika diberi tahu bahwa itu biasanya disebut Distribusi Normal.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags